Mundi et Imago Mundi

abril 5, 2010

Observando a embalagem do ovo de Páscoa que entreguei à minha querida amada neste final de semana, deparei-me com o mesmo problema que há séculos desafia geômetras e cartógrafos: qual a melhor forma de ‘embalar’ um ovo em um papel sem que haja dobras? Ou, em linguagem mais técnica, qual a melhor maneira de representar a Terra em um plano com o mínimo de distorções?

Para os  geodesistas, a questão surge antes: qual é a figura da Terra? Pitágoras e posteriormente Erastóstenes simplificavam bastante a resposta definindo-a como esférica. Não deixa de ser notável o cálculo do raio da Terra feito por Erastótenes, tendo em vista o parco conhecimento e as poucas ferramentas disponíveis na época. Somente um milênio e meio mais tarde, com Newton, Maupertius e outros, é que se vislumbrou a hipótese de um elipsóide de revolução como modelo mais pertinente para a Terra, já que a rotação da Terra provoca um ligeiro alongamento no Equador (ou achatamento nos pólos), à razão de aproximadamente 1/300 (raio polar sobre raio equatorial). Atualmente, cálculos avançados utilizam funções de Fourier em coordenadas esféricas com até 65.000 coeficientes para definir o que Gauss, o Gauss da época, chama de geóide, ou seja, o modelo físico da Terra. Essa representação matemática nada mais é que uma suavização da superfície terrestre criada a partir do campo gravitacional medido em vários pontos do planeta.  Para a maioria da aplicações geodésicas, o modelo elipsóide é suficiente, e mesmo a esfera é utilizada para cálculos mais simples. No entanto, para cálculos com instrumentação mais precisa, o modelo da geóide é mais recomendado.

Geóide com anomalias gravitacionais amplificadas para visualização

A representação cartográfica, desde seus primórdios, conviveu com o dilema entre acurácia e representação, e dependendo do uso do mapa, privilegia-se um em detrimento do outro.  Para mapas de navegação, por exemplo, a exatidão é fundamental. Já para mapas políticos, países de extensões variadas devem ser representados, mesmo que isso implique em perda de informação métrica.

Desde que os portugueses abriram caminho para as grandes navegações, a necessidade de mapas que retratassem com exatidão vastas áreas do planeta tornou-se premente. Ao mesmo tempo, surgiam as primeiras dificuldades de representação. Já no início do século XVI, Pedro Nunes, Cosmógrafo Real de Dom João III, percebeu que um navio que mantivesse uma rota fixa (que não fosse paralela ao Equador) não conseguiria navegar através de uma circunferência, o caminho mais curto entre dois pontos na terra, mas deveria antes seguir uma rota em espiral infinita até os pólos chamada loxodrômica. Tal dificuldade permaneceu até que o cartógrafo flamengo (de Flandres, não o carioca) Gerald “Mercator” Kremer desenvolvesse, em 1569, a projeção que leva seu apelido. Essa projeção é baseada em uma representação cilíndrica da Terra, e por causa disso cria distorções gigantescas em áreas de altas latitudes. A Groelândia, por exemplo, aparece na representação de Mercator maior que a América do Sul, quando em realidade não possui nem 12% de sua superfície. Em meu velho Atlas, todos os seus mapas eram projeções de Mercator. Claro, na época em que foi criado, a preocupação maior era poder traçar uma linha sobre o oceano e poder segui-la sem maiores preocupações. Além disso, o mundo conhecido da época não incluía os remotos rincões do Canadá, do Ártico  ou da Antártida. Mas na época em que eu era criança (não faz tanto tempo assim), ver a Antártida com uma massa de terra maior que a Eurásia me parece, hoje, uma aberração.

Projeção Mercator e suas distorções

Não há, decerto,  nenhuma representação cartográfica que não apresente algum tipo de deformação. E isso prova o mesmo Gauss, em seu famoso Theorema Egregium. No entanto, desde Mercator, existem dezenas de outras representações criadas para atenuar deformações ou destinadas a preservar alguma propriedade métrica. Entre todas essas tentativas, a que eu considero mais interessante é a projeção Dymaxion, criada por Buckminster Fuller, espécie de patenteador maluco que impunha o nome Dymaxion a tudo o que inventava. Sua idéia era utilizar um icosaedro regular (último dos poliedros de Platão, formado por 20 triângulos equiláteros) como base da projeção da Terra. O mapa Fuller pode ser representado de diversas maneiras, de acordo com o recorte que se faz no icosaedro para torná-lo plano. O resultado é um mapa sem norte ou sul, o que vai de encontro com as idéias de Fuller. Segundo ele, o mundo não tem sentido (no sentido estritamente físico da palavra!), e a correspondência do norte com o superior e do sul com o inferior deriva de um viés cultural muito difícil de relevar, já que existe desde as primeiras representações cartográficas (que remontam à Ptolomeu). Não quero fazer anacrônicas elegias anti-imperialistas, nem tampouco acho que precisamos de um mapa ‘upside down’ reparador de injustiças seculares, mas gosto da idéia de poder estudar o mundo a partir de representações cujas imagens possam ser escolhidas e não pré-definidas. Imagino as imagens que se formariam se utilizássemos como base de representação alguns sólidos de Arquimedes, como o icosaedro truncado ou o rombicosidodecaedro.

Como se faz um mapa Dymaxion